要证明一个函数是连续的，我们需要满足连续函数的定义。根据数学的定义，如果对于函数的每一个定义域内的点，函数在这个点的极限等于函数在那个点的函数值，那么这个函数就是连续的。
为了方便讨论，我们假设函数为f(x)，定义域为D。
首先，我们需要检验函数在定义域内的每一个点的极限是否存在。对于函数f(x)在一个给定的点c，如果lim(x→c) f(x) = L存在，那么我们可以继续进行下一步的验证。
接下来，我们需要验证函数在这些点的极限值是否等于函数在这个点的函数值。也就是说，我们需要验证lim(x→c) f(x) = f(c)。
为了证明这一点，我们可以通过两种方法：ε-δ定义和极值定理。
首先，我们考虑使用ε-δ定义。根据这个定义，当给定一个ε>0时，我们需要找到对应的一个δ>0，使得当|x-c|<δ时，有|f(x)-f(c)|<ε成立。
要找到这样一个δ，我们可以利用函数的连续性进行逐步逼近。假设我们有一个ε>0。根据极限的定义，我们可以找到一个对应的δ1，使得当|x-c|<δ1时，有|f(x)-L|<ε/2成立，其中L是函数在点c的极限值。
然后，我们可以再找到一个δ2，使得当|x-c|<δ2时，有|f(c)-f(c)|<ε/2成立。
因此，如果我们取δ=min(δ1, δ2)，那么当|x-c|<δ时，我们可以得到|f(x)-f(c)|=|f(x)-L+L-f(c)|≤|f(x)-L|+|L-f(c)|<ε/2+ε/2=ε。
这就证明了函数在给定点c的连续性。
接下来，我们考虑使用极值定理。极值定理指出，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，那么它在这个闭区间上有最大值和最小值。
为了证明函数f(x)的连续性，我们可以选择一个闭区间[a, b]，其中a和b是函数的定义域D内的任意两个点。然后，我们可以验证函数f(x)是否满足在[a, b]上连续。
如果函数满足在[a, b]上连续，那么根据极值定理，函数在[a, b]上有最大值和最小值。这意味着函数在这个闭区间内的任意点都取得了函数值。因此，我们可以得出结论：对于闭区间[a, b]上的任意点c，lim(x→c) f(x) = f(c)成立。
这就证明了函数在函数定义域内的连续性。
综上所述，我们可以通过ε-δ定义和极值定理两种方法证明函数f(x)的连续性。这些方法可以确保函数在定义域内的每一个点的极限存在且等于函数在这个点的函数值。因此，我们可以得出结论：函数f(x)是连续的。
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